Илья Зябкин окончил РНИМУ им. Н.И. Пирогова в 1998 году по специальности «Педиатрия». В 2000 году он завершил клиническую ординатуру по оториноларингологии, а в 2003 году – аспирантуру по той же специальности на базе РМАНПО.
С 1999 по 2013 год Зябкин работал врачом экстренной оториноларингологической помощи в Детской ГКБ № 13 им. Н.Ф. Филатова в Москве. В 2013–2014 годах занимал должности заведующего отделением и заместителя главного врача по внебюджетной деятельности в этой же больнице. В 2015–2016 годах руководил Пушкинской районной больницей им. проф. В.Н. Розанова в Московской области, а в 2019–2020 годах – амбулаторно-поликлиническим центром № 118 Депздрава Москвы.
В 2020 году Зябкин возглавил ФНКЦ детей и подростков ФМБА России. Помимо руководящей работы, он является главным внештатным специалистом ФМБА по организации оказания медицинской помощи детям.
Андрей Фисенко возглавил НМИЦ здоровья детей в апреле 2018 года. О причинах его ухода с должности неизвестно. По поручению министра здравоохранения Михаила Мурашко в 2023 году Фисенко вручили ведомственную медаль «За заслуги перед отечественным здравоохранением».
Должность временно исполняющего обязанности главы ФНКЦ детей и подростков после ухода Зябкина занял Алексей Пшонкин – врач-гематолог, экс-директор департамента паллиативной помощи благотворительного фонда «Подари Жизнь».


