Евгений Кустов в 2006 году окончил Саратовский военно-медицинский институт, в 2013-м завершил обучение в Международном институте экономики и права. Трудовой путь начал в 2009 году в Белорецкой ЦКБ (Республика Башкортостан), где работал врачом отделения скорой медицинской помощи, заведующим диагностическим центром, заместителем главного врача по поликлинике и главным врачом.
В 2020 году его назначили на пост заместителя министра здравоохранения Башкортостана. В 2021 году он начал работать в Министерстве здравоохранения Московской области, сначала как заместитель главы ведомства, а затем как первый заместитель министра.
В 2024 году работал заместителем директора Департамента здравоохранения Минздрава РФ. В начале сентября 2025 года Евгения Кустова назначили первым заместителем министра здравоохранения Якутии.
Новым руководителем Минздрава Свердловской области в апреле 2025 года стала бывший министр здравоохранения Оренбургской области Татьяна Савинова. На посту она сменила Андрея Карлова, возглавлявшего министерство с 2020 года.
