Дмитрий Маркелов окончил Омскую государственную медицинскую академию (сейчас Омский государственный медуниверситет). С 2002 по 2024 годы проходил в медвузе на кафедре онкологии клиническую ординатуру, затем в течение трех лет обучался в очной аспирантуре.
В 2017 году Маркелов стал заведующим хирургическим отделением №1 Клинического онкологического диспансера в Омске. В январе 2019 года он возглавил онкодиспансер. В июле 2024 года Маркелов стал министром здравоохранения Омской области – тогда он сменил Артема Наркевича, который руководил ведомством с ноября 2023-го по июнь 2024 года.
Наркевич покинул пост в связи с переходом на новую должность. Он стал директором Департамента медицинского образования и кадровой политики в здравоохранении Минздрава РФ, сменив Людмилу Летникову, возглавлявшую департамент с октября 2021 года.
В июле 2025 года Дмитрия Маркелова переназначили на пост министра еще на один год.
